Θεματα Ιουνιου 2016

μηπως υπαρχουν απαντησεις απο αυτα ?

Δεν έχω απάντηση για όλα. Αλλά αυτά ελπίζω να βοηθήσουν:

1ο ΘΕΜΑ 2016
Α) "κατανομή τυχαίας μεταβλητής"
Έστω το τυχαίο πείραμα της ρίψης δύο ζαριών. Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή,  τέτοια ώστε να αναπαριστά το άθροισμα των ενδείξεων των δύο ζαριών.
Κατανομή της τυχαίας μεταβλητής είναι ότι κατά τη ρίψη των 2 ζαριών, το πόσες φορές έχει έρθει το κάθε άθροισμα (2,3,4....12)
Έστω το τυχαίο πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος. Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή αριθμός των εμφανιζομένων κεφαλών στις ρίψεις.
Κατανομή της τυχαίας μεταβλητής είναι κατά τη ρίψη το πόσες φορές έχει έρθει η κεφαλή.
Β) Ομοιόμορφη κατανομή https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CE%BC%CE%BF%CE%B9%CF%8C%CE%BC%CE%BF%CF%81%CF%86%CE%B7_%CE%BA%CE%B1%CF%84%CE%B1%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%AE

2ο ΘΕΜΑ 2016
Α) VAR (X+Y)  =  E((X+Y)^2) – (E(X+Y))^2  
                   =  E(X^2 +Y^2+2XY) – (E(X+Y))^2  
                   =  E(X^2) + E(Y^2) +2E(XY) – (E(X))^2 - (E(Y))^2 – 2E(X)E(Y)
                   = VAR X + VAR Y + 2COV(X,Y)
3ο ΘΕΜΑ 2016
Α) "δεσμευμένη πιθανότητα"
Όταν υπολογίζουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α ρωτάμε πόσο είναι πιθανό να πραγματοποιηθεί το Α, γνωρίζοντας ότι βρισκόμαστε στο δειγματικό χώρο S. Είναι όμως δυνατό να έχουμε εκ των προτέρων την πληροφορία ότι το αποτέλεσμα του πειράματος θα βρίσκεται σε ένα υποσύνολο Β του S. Στην περίπτωση αυτή μπορεί να βελτιώσουμε τις προβλέψεις μας για το αποτέλεσμα, αν ξαναϋπολογίσουμε τις πιθανότητες, παίρνοντας υπόψη μας τη γνώση αυτή.


Κάποιες άλλες χρήσιμες πηγές:
Bayes
https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%98%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CE%9C%CF%80%CE%AD%CF%85%CE%B6
Στοχαστική διαδικασία
http://www.cam.tuc.gr/DIAFORA%20JPG/BIBLIA/stochastic%20processes.pdf
Μια στοχαστική διαδικασία X (t) είναι μια συνάρτηση του χρόνου. Η τιμή της συνάρτησης αυτής σε κάθε χρονική στιγμή είναι μια τυχαία μεταβλητή.
Παράδειγμα στοχαστικής διαδικασίας, και διαδικασίας Bernoulli.
Πείραμα διαδοχικών ρίψεων ενός νομίσματος.
Τη χρονική στιγμή n, θέτουμε x(n) = 1 εάν ήρθε ”κεφαλή”, και x(n) = -1 εάν ήρθε
”γράμματα”. Με τον τρόπο αυτό δημιουργείται μια τυχαία διαδικασία διακριτού χρόνου X [n] που λαμβάνει τιμές ±1. Εάν η ρίψη του νομίσματος τη χρονική στιγμή n, δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα κάποιας άλλης ρίψης, τότε η τυχαία διαδικασία που παράγεται ονομάζεται διαδικασία Bernoulli.
Τυχαίος περιπατητής
Είναι ένας ... μεθυσμένος, όταν αποφασίσει να περπατήσει από το σημείο που βρίσκεται. Λόγω της τύφλας του, τα βήματα που εκτελεί είναι ασυσχέτιστα μεταξύ τους και προς τυχαία διεύθυνση. Αυτά τα δυο χαρακτηριστικά, ορίζουν το απλούστερο πρότυπο του Τυχαίου περιπατητή.
Από τις σημειώσεις-Τυχαίος Περιπατητής
Έστω σωματίδιο που εκτελεί ακανόνιστη κίνηση κατά τον άξονα x, με p πιθανότητα για να κάνει βήμα προς τα δεξιά και q=1-p: η πιθανότητα για να κάνει βήμα προς τα αριστερά
Για ανεξάρτητα διαδοχικά βήματα, ο αριθμός των βημάτων π.χ. προς τα δεξιά είναι μία τυχαία μεταβλητή με διωνυμική κατανομή
Μια γνωστή Μαρκοβιανή διαδικασία είναι ο λεγόμενος "περίπατος του μεθυσμένου", μια τυχαία διαδρομή στην αριθμητική γραμμή όπου, σε κάθε βήμα, η θέση μπορεί να αλλάξει κατά +1 ή κατά -1 με ίση πιθανότητα.
Από κάθε θέση υπάρχουν δύο δυνατές μεταβάσεις, στον επόμενο ή στον προηγούμενο ακέραιο. Οι πιθανότητες μετάβασης εξαρτώνται μόνο από την παρούσα θέση, όχι από τον τρόπο με τον οποίο η θέση επετεύχθη.
Για παράδειγμα, οι πιθανότητες μετάβασης από το 5 στο 4 και από το 5 στο 6 είναι 0.5 και οι δύο, και όλες οι άλλες πιθανότητες μετάβασης από το 5 είναι 0. Αυτές οι πιθανότητες είναι ανεξάρτητες από το αν το σύστημα προηγουμένως βρισκόταν στο 4 ή στο 6.
Παραδείγματα διαδικασίας Bernoulli έχουμε στο στρίψιμο ενός νομίσματος n φορές, στο ρίξιμο ενός ζαριού n φορές, κλπ.

Το Θέμα 1ο Β (2014) είναι στις διαφάνειες #4 (Τα γραφήματα)